Go to the content. | Move to the navigation | Go to the site search | Go to the menu | Contacts | Accessibility

| Create Account

Cimetta, Leone Cesare (2017) Some properties of zeta functions associated to profinite groups. [Ph.D. thesis]

Full text disponibile come:

[img]
Preview
PDF Document - Updated Version
818Kb

Abstract (english)

Consider a profinite group containing only finitely many open subgroups of index n, for any n: then it is possible to define two formal Dirichlet series associated to the group, the normal subgroup zeta function and the normal probabilistic zeta function.
First, we deal with the problem of the absolute convergence of the latter, then we examine the profinite groups in which these series coincide, and we call these groups normally zeta-reversible. We conjecture that these groups are pronilpotent and we prove this conjecture if G is a normally zeta-reversible satisfying one of the following properties: G is prosoluble, G is perfect, all the nonabelian composition factors of G are alternating groups.
This evidence gives us sufficient motivation to focus on finitely generated pro-p groups, as classifying normally zeta-reversible pro-p groups is the key to determine a classification of pronilpotent groups with this property: we show that normally zeta-reversible uniform pro-p groups (where p is an odd prime) are abelian and torsion-free.
Later on, we use an explicit classification of analytic p-adic pro-p groups of small dimension and a formula for their subgroup zeta function to prove that a conjecture by Damian and Lucchini holds for these groups.
Finally, we present some experimental results, obtained using the software GAP, concerning the behaviour (and in particular the distibution of the real zeros) of the probabilistic zeta function of finite groups.

Abstract (italian)

Si consideri un gruppo profinito che abbia solo un numero finito di sottogruppi aperti di indice n, per ogni n: è possibile definire due serie formali di Dirichlet associate al gruppo, la funzione zeta dei sottogruppi normali e la funzione zeta probabilistica normale.
In primo luogo, tratteremo il problema della convergenza assoluta della seconda serie, per poi esaminare i gruppi profiniti in cui queste due serie coincidono: chiameremo tali gruppi normalmente zeta-reversibili. La nostra congettura è che i gruppi con questa proprietà siano pronilpotenti, e dimostreremo tale congettura nel caso in cui G sia un gruppo profinito che soddisfa una delle seguenti proprietà: G è prosolubile, G è perfetto oppure tutti i fattori di composizione non abeliani di
G sono gruppi alterni.
Questi risultati ci forniscono una motivazione sufficiente per concentrarci sui pro-p gruppi finitamente generati, poiché classificare i pro-p gruppi normalmente zeta-reversibili è la chiave per ottenere una classificazione dei gruppi pronilpotenti che soddisfano tale proprietà: mostreremo che i pro-p gruppi uniformi normalmente zeta-reversibili (per p primo dispari) sono abeliani e liberi da torsione.
Successivamente, useremo una classificazione esplicita dei pro-p gruppi p-adici analitici di dimensione piccola ed una formula per il computo della loro funzione zeta dei sottogruppi per provare che tali gruppi soddisfano una congettura di Damian e Lucchini.
Presenteremo infine alcuni risultati computazionali, ottenuti grazie all'uso del software GAP, sul comportamento (e in particolare sulla distribuzione degli zeri reali) della funzione zeta probabilistica dei gruppi finiti.

Statistiche Download - Aggiungi a RefWorks
EPrint type:Ph.D. thesis
Tutor:Lucchini, Andrea
Ph.D. course:Ciclo 29 > Corsi 29 > SCIENZE MATEMATICHE
Data di deposito della tesi:29 January 2017
Anno di Pubblicazione:2017
Key Words:Profinite groups, zeta function, group generation
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/02 Algebra
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Matematica
Codice ID:10045
Depositato il:15 Nov 2017 10:04
Simple Metadata
Full Metadata
EndNote Format

Bibliografia

I riferimenti della bibliografia possono essere cercati con Cerca la citazione di AIRE, copiando il titolo dell'articolo (o del libro) e la rivista (se presente) nei campi appositi di "Cerca la Citazione di AIRE".
Le url contenute in alcuni riferimenti sono raggiungibili cliccando sul link alla fine della citazione (Vai!) e tramite Google (Ricerca con Google). Il risultato dipende dalla formattazione della citazione.

[1] M. Aschbacher, Finite group theory. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 10. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. Cerca con Google

[2] A. Ballester-Bolinches and L. M. Ezquerro, Classes of finite groups. Mathematics and Its Applications (Springer), 584. Springer, Dordrecht, 2006. Cerca con Google

[3] B. Benesh, The probabilistic zeta function. Computational group theory and the theory of groups, II, 1-9, Contemp. Math., 511, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010. Cerca con Google

[4] N. Boston, A probabilistic generalization of the Riemann zeta function, Analytic number theory, Vol. 1 (Allerton Park, IL, 1995) 138 (1996), 155-162. Cerca con Google

[5] K. Brown, The coset poset and probabilistic zeta function of a finite group, J. Algebra 225 (2000), no. 2, 989-1012. Cerca con Google

[6] F. Buekenhout, Good contributors to the order of the finite simple groups. Arch. Math. (Basel) 44 (1985), no. 4, 289-296. Cerca con Google

[7] R. W. Carter, Simple groups of Lie type. Pure and Applied Mathematics, Vol. 28. John Wiley and Sons, London-New York-Sydney, 1972. Cerca con Google

[8] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker and R. A. Wilson, Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Oxford University Press, Eynsham, 1985. Cerca con Google

[9] H. M. Crapo, Mobius inversion in lattices. Arch. Math. (Basel) 19 1968, 595-607 (1969). Cerca con Google

[10] E. Damian and A. Lucchini, Profinite groups in which the probabilistic zeta function coincides with the subgroup zeta function, J. Algebra 402, 92-119 (2014). Cerca con Google

[11] E. Damian and A. Lucchini, Recognizing the alternating groups from their probabilistic zeta function, Glasgow Math. J. (2004) 46 595-599. Cerca con Google

[12] E. Damian and A. Lucchini, The probabilistic zeta function of finite simple groups. J. Algebra 313 (2007), no. 2, 957-971. Cerca con Google

[13] E. Damian, A. Lucchini and F. Morini, Some properties of the probabilistic zeta function of finite simple groups, Pacific. J. Math., 215 (2004), 3-14. Cerca con Google

[14] E. Detomi and A. Lucchini, Crowns and factorization of the probabilistic zeta function of a finite group. J. Algebra 265 (2003), no. 2, 651-668. Cerca con Google

[15] E. Detomi and A. Lucchini, Profinite groups with multiplicative probabilistic zeta function, J. London Math. Soc. (2) 70 (2004), no. 1, 165-181. Cerca con Google

[16] E. Detomi and A. Lucchini, Some generalizations of the probabilistic zeta function. Ischia group theory 2006, 56-72,World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007. Cerca con Google

[17] J. D. Dixon, M. P. F. Du Sautoy, A. Mann, D. Segal, Analytic pro-p groups.Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 61. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. Cerca con Google

[18] M. P. F. du Sautoy and L. Woodward, Zeta functions of groups and rings. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1925, Springer, Heidelberg (2008). Cerca con Google

[19] W. Feit and J. G. Thompson, Solvability of groups of odd order. Pacific J. Math. 13 1963, 775-1029. Cerca con Google

[20] W. Gaschutz, Die Eulersche Funktion endlicher au Cerca con Google

flosbarer Gruppen. Illinois J. Math. 3 1959 469-476. Cerca con Google

[21] J. Gonzalez-Sanchez, On p-saturable groups, J. Algebra 315 (2007), 809-823. Cerca con Google

[22] J. Gonzalez-Sanchez and A. Jaikin-Zapirain, On the structure of normal subgroups of potent p-groups. J. Algebra 276 (2004), no. 1, 193-209. Cerca con Google

[23] J. Gonzalez-Sanchez and B. Klopsch, Analytic pro-p groups of small dimensions. J. Group Theory 12 (2009), no. 5, 711-734. Cerca con Google

[24] D. Gorenstein, Finite simple groups. An introduction to their classification. University Series in Mathematics. Plenum Publishing Corp., New York, 1982. Cerca con Google

[25] F. Grunewald, D. Segal and G. C. Smith, Subgroups of finite index in nilpotent groups, Invent. Math. 93 (1988), no. 1, 185-223. Cerca con Google

[26] P. Hall, A contribution to the theory of groups of prime-power orders. Proc. Loud. Math. Soc., II 26, 29-95 (1933). Cerca con Google

[27] P. Hall, The eulerian functions of a group, Quart. J. Math. (1936), no. 7, 134-151. Cerca con Google

[28] I. M. Isaacs, Character theory of finite groups. Pure and Applied Mathematics, No. 69. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976. Cerca con Google

[29] E. I. Khukhro, p-Automorphisms of Finite p-groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. Cerca con Google

[30] W. Kimmerle, R. Lyons, R. Sandling and D. N. Teague, Composition factors from the group ring and Artin's theorem on orders of simple groups. Proc. London Math. Soc. (3) 60 (1990), no. 1, 89-122. Cerca con Google

[31] P. Kleidman and M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups. London Mathematical Society Lecture Note Series, 129. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. Cerca con Google

[32] B. Klopsch and I. Snopce, Pro-p groups with constant generating number on open subgroups, J. Algebra 331 (2011), 263-270. Cerca con Google

[33] B. Klopsch and C. Voll, Zeta functions of three-dimensional p-adic Lie algebras. Math. Z. 263 (2009), no. 1, 195-210. Cerca con Google

[34] V. Landazuri and G. M. Seitz, On the minimal degrees of projective representations of the finite Chevalley groups. J. Algebra 32 (1974), 418-443. Cerca con Google

[35] M. Lazard, Groupes analytiques p-adiques. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 26 1965 389-603. Cerca con Google

[36] A. Lubotzky and D. Segal, Subgroup growth. Progress in Mathematics, 212. Birkhauser Verlag, Basel, 2003. Cerca con Google

[37] A. Lucchini, Profinite groups with nonabelian crowns of bounded rank and their probabilistic zeta function, Israel J. Math. 181 (2011), 53-64. Cerca con Google

[38] A. Mann, Positively finitely generated groups, Forum Math. 8 (1996), no. 4, 429-459. Cerca con Google

[39] A. Mann, A probabilistic zeta function for arithmetic groups, Internat. J. Algebra Comput. 15 (2005), 1053-1059. Cerca con Google

[40] L. E. Mattics and F. W. Dodd. A bound for the number of multiplicative partitions. Amer. Math. Monthly 93 (1986), 125-126. Cerca con Google

[41] N. E. Menezes, M. Quick and C. M. Roney-Dougal, The probability of generating a finite simple group. Israel J. Math. 198 (2013), no. 1, 371-392. Cerca con Google

[42] J. Nagura, On the interval containing at least one prime number. Proc. Japan Acad. 28, (1952). 177-181. Cerca con Google

[43] M. Patassini, The probabilistic zeta function of PSL(2;q), of the Suzuki groups 2B2(q) and of the Ree groups 2G2(q). Pacic J. Math. 240 (2009), no. 1, 185-200. Cerca con Google

[44] J. Petresco, Sur les commutateurs, Math. Z. 61 (1954), 348-356. Cerca con Google

[45] C. E. Praeger and J. Saxl, On the orders of primitive permutation groups. Bull. London Math. Soc. 12 (1980), no. 4, 303-307. Cerca con Google

[46] J. Puchta, Groups with multiplicative subgroup growth. Israel J. Math. 122 (2001), 149-156. Cerca con Google

[47] D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 80. Springer-Verlag, New York, 1996. Cerca con Google

[48] G. Seitz and A. Zalesskii, On the minimal degrees of projective representations of the finite Chevalley groups. II. J. Algebra 158 (1993), no. 1, 233-243. Cerca con Google

[49] J. Shareshian, On the probabilistic zeta function for finite groups, J. Algebra, 210 (1998), 703-770. Cerca con Google

[50] P. H. Tiep, Low dimensional representations of finite quasisimple groups. Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), 277-294, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003. Cerca con Google

[51] C. Voll, Functional equations for zeta functions of groups and rings. Ann. of Math. (2) 172 (2010), no. 2, 1181-1218. Cerca con Google

[52] A. Wagner, The faithful linear representation of least degree of Sn and An over a field of characteristic 2. Math. Z. 151 (1976), no. 2, 127-137. Cerca con Google

[53] A. Wagner, The faithful linear representations of least degree of Sn and An over a field of odd characteristic. Math. Z. 154 (1977), no. 2, 103-114. Cerca con Google

[54] J. S. Wilson, Pronite groups. London Mathematical Society Monographs. New Series, 19. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. Cerca con Google

[55] T. R. Wolf, Solvable and nilpotent subgroups of GL(n;qm). Canad. J. Math. 34 (1982), no. 5, 1097-1111. Cerca con Google

[56] K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste. (German) Monatsh. Math. Phys. 3 (1892), no. 1, 265-284. Cerca con Google

Download statistics

Solo per lo Staff dell Archivio: Modifica questo record