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Tovazzi, Daniele (2018) Self-sustained periodic behaviors in interacting systems: macroscopic limits and fluctuations. [Ph.D. thesis]

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Abstract (english)

In this thesis we study the appearance of self-sustained periodic behavior in the macroscopic dynamics of some interacting systems and related critical phenomena. The thesis is organized as follows. In Chapter 1 we focus on the emergence of periodicity in cooperative mean field models whose interaction potential undergoes a dissipative evolution. We define a generalized Curie-Weiss model with dissipation and we analyse its macroscopic dynamics: we show that not only a periodic behavior is present at sufficiently low temperature, but also that, in certain regimes, any (finite) number of stable limit cycles can coexist. Chapter 2 is concerned with a two-population Curie-Weiss model: we define two types of microscopic dynamics, one with delay and the other without. We identify configurations of the interaction network which can enhance macroscopic oscillations in the case without delay; we also show that delay allows the appearance of a collective periodic behavior in configurations in which periodicity was otherwise absent. In Chapter 3 we consider again the mechanism of dissipation, this time dropping the mean field hypothesis. We study a short-range interacting system obtained introducing dissipation in a 1-dimensional Ising model. We prove that, in a suitable zero-temperature infinite-volume limit, the total magnetization of the system displays regular oscillations between polarized phases. Finally, Chapter 4 is dedicated to the analysis of critical fluctuations for systems exhibiting a Hopf bifurcation in the dynamics of the macroscopic law. The behavior of critical fluctuations around the macroscopic limit reflects the type of bifurcation and the observables display fluctuations evolving at different time scales. We identify the slow and the fast variable and we obtain the convergence of the slow variable to its limiting dynamics via an averaging principle.

Abstract (italian)

In questa tesi studiamo comportamenti periodici auto-sostenuti che appaiono nella dinamica macroscopica di certi sistemi interagenti e alcuni fenomeni critici collegati a questo comportamento. La tesi è organizzata come segue. Nel primo capitolo ci concentriamo sulla comparsa di periodicità in modelli cooperativi a campo medio il cui potenziale di interazione è soggetto a una dissipazione. Definiamo un modello di Curie-Weiss generalizzato con dissipazione ed analizziamo la sua dinamica limite: mostriamo che non solo il comportamento periodico è presente a temperature sufficientemente basse, ma anche che, in certi regimi, diversi cicli limite stabili possono coesistere, purché in numero finito. Nel secondo capitolo ci occupiamo di un modello di Curie-Weiss bipopolato: definiamo due tipi di dinamiche microscopiche, una con ritardo e l'altra senza. Identifichiamo le configurazioni della rete di interazione che possono dare luogo ad oscillazioni macroscopiche nel caso senza ritardo; mostriamo inoltre che il ritardo permette la comparsa di periodicità in configurazioni nelle quali sarebbe altrimenti assente. Nel terzo capitolo consideriamo nuovamente il meccanismo della dissipazione, questa volta lasciando cadere l'ipotesi di interazione a campo medio. Studiamo un sistema di particelle con interazione a corto raggio ottenuto introducendo la dissipazione in un modello di Ising 1-dimensionale. Mostriamo che, in un opportuno limite di temperatura zero e volume infinito, la magnetizzazione totale del sistema presenta oscillazioni regolari tra fasi polarizzate. Infine, il quarto capitolo è dedicato all'analisi delle fluttuazioni critiche di sistemi che esibiscono una biforcazione di Hopf nella dinamica della legge macroscopica. Il comportamento delle fluttuazioni critiche attorno al limite macroscopico riflette il tipo di biforcazione e gli osservabili mostrano fluttuazioni che evolvono su scale temporali differenti. Identifichiamo la variable lenta e quella veloce ed otteniamo la convergenza della variabile lenta alla sua dinamica limite tramite un averaging principle.

Statistiche Download
EPrint type:Ph.D. thesis
Tutor:Dai Pra, Paolo
Ph.D. course:Ciclo 30 > Corsi 30 > SCIENZE MATEMATICHE
Data di deposito della tesi:13 January 2018
Anno di Pubblicazione:12 January 2018
Key Words:Interacting particle systems - Collective periodic behavior
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/06 Probabilità e statistica matematica
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Matematica
Codice ID:10757
Depositato il:25 Oct 2018 16:43
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