Gamba, Stefano (2009) Model Reduction for Multibody System. [Ph.D. thesis]

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## Abstract (english)

In the first part of this thesis we presents a computationally fast mathematical model of a motorcycle drivetrain, that can be implemented in a multibody motorcycle model for handling and maneuverability studies and long time-scale analysis. Given a mathematical model of the primary drive and the transmission, possessing an arbitrary number of shafts, we define a reduced model composed by only two counter-rotating shafts of suitable masses and inertias. Also, we show how forces and torques applied to the original model must be adapted to the compact one, in order for the two systems to be indistinguishable with respect to energy transfer and gyroscopic moments. Beyond the simplification of the equations due to the reduced number of bodies, another advantage of this model is that, once the equations of motion are derived, any n-shaft transmission can be simulated just changing the equation parameters, without the need of recompiling the whole multibody model.

In the second part of the dissertation the modeling of the drive chain is discussed. A multibody model of the rear half of a motorcycle is described, to reproduce the fast dynamics caused by the chain models with high stiffness. Applying a quasi-steady-state approximation of the extension of the chain, we effectively eliminates the undesired high frequencies vibrations, and preserving the slow signals that most influence the trajectory of the vehicle. The only drawback of this solution is the need of solving a nonlinear equation with two unknowns to evaluate the reduced equations of motion. The problem is overcome with another reduction method, that is enforcing holonomic constraints on the lengths of the upper and lower chain segments. In order to do that without loosing two degrees of freedom, the stiff nonlinear model is first described as a switched model where the chain segments are replaced by linear springs. Then, the submodels are reduced separately and merged together to obtain the overall reduced model. An intelligent formulation of the constraints let us derive the chain tension even if its extension is constantly zero.

## Abstract (italian)

Nella prima parte di questa tesi presentiamo un modello matematico computazio- nalmente veloce della trasmissione di una motocicletta, che possa essere implementato in un modello multibody per studi di manovrabilità e analisi su scale di tempo elevate. Dato un modello matematico di una trasmissione con numero arbitrario di alberi, definiamo un modello ridotto composto solo da due alberi controrotanti di opportune masse e inerzie. Mostriamo anche come modificare forze e coppie applicate al modello originale per adattarle a quello compatto, con lo scopo di renderlo indistinguibile per quanto riguarda gli scambi energetici e i momenti giroscopici. Oltre ad avere un numero ridotto di corpi, un altro vantaggio di questo modello è che una volta che le equazioni del moto sono state calcolate, qualsiasi trasmissione può essere simulata solo cambiando i parametri delle equazioni, senza la necessità di ricompilarlo.

Nella seconda parte della dissertazione è trattata la modellazione della catena di trasmissione. Viene descritto un modello multibody della metà posteriore di una motocicletta per riprodurre la dinamica veloce causata dai modelli di catena con elevata rigidezza. Applicando un'approssimazione quasi-steady-state dell' estensione della catena abbiamo eliminato efficacemente le indesiderate vibrazioni ad alta frequenza, preservando inalterati i segnali lenti che maggiormente influenzano la traiettoria del veicolo. L'unico inconveniente di questa soluzione è la necessità di risolvere un'equazione non lineare in due incognite per valutare le equazioni del moto ridotte. Il problema viene risolto con un altro metodo di riduzione, cioè l'imposizione di vincoli olonomi sulle estensioni del ramo superiore ed inferiore della catena. Per fare questo senza perdere due gradi di libertà, innanzitutto il modello rigido non lineare viene descritto come un modello switched in cui i due rami della catena vengono sostituiti da due molle lineari. Poi, i sottomodelli vengono ridotti separatamente e infine fusi assieme per ottenere il modello ridotto complessivo. Una formulazione intelligente dei vincoli permette di calcolare la tensione della catena anche se la sua estensione è sempre zero.