Bertoluzzo, Francesco (2010) Methodological advances in permutation tests: Multi-sided tests and related topics. [Tesi di dottorato]

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## Abstract (inglese)

The initial objective of this work was to test the effect of a general treatment on three-dimensional surfaces. The analysis of three-dimensional surfaces has several problems of different nature. Firstly ordinary statistical tests are not directly pplicable to collected data on the surface using laser scans for two reasons: the number of collected points is not the same for all subjects, moreover the points are not synchronized in the sense that points related to different subjects, but having the same position in the digital sequence, can be related to different areas of the surface. This problem has been solved by using Radial Basis Functions that provide coefficients to which statistical procedures can be applied directly applied. The
problem is complicated by the fact that the treatment may generate on some coefficients positive effects on some subjects and negative effects on others and also the number of coefficients obtained from the representation is far greater than the number of subjects. The multi-sided test is born to
solve the first of these problems. Its development in onparametric environment has helped also to solve the second problem. The use of the multi-sided test has proved to be useful in many situations, where the effect of a treatment can be positive on some individuals and negative on the rest. Such a situation is essentially different from that of the traditional two-sided test, in which the alternative is assumed being active on only one of two directions, but not on both. The ultisided-test
allows the two sides alternative to be jointly active although in different subjects. In order to face such an atypical situation, one can first apply two goodness-of-fit tests, one for the positive
effects and the other for the negative, and then to proceed with their nonparametric combination within a permutation framework. The use of permutation test is also useful in the context where the number of variables is muchlarger than the number of subjects, since it can be proven that, if some conditions are satisfied,the power function of permutation tests monotonically increases as the related noncentrality parameter increases. This property also holds for multivariate situations.
Finally, with appropriate multiplicity control techniques we can identify the areas of surfaces that are mostly affected by the treatment.

## Abstract (italiano)

L'interesse iniziale di questo lavoro era testare l'effetto di un generico trattamento applicato a superfici tridimensionali.
L'analisi di superfici tridimensionali presenta diversi problemi di varia natura. Innanzi tutto, ai dati rilevati sulle superfici per mezzo di scansioni laser non sono direttamente applicabili test statistici per almeno due motivi: il numero di punti rilevati non èlo stesso per tutti i soggetti, i punti non sono sincronizzati nel senso che punti riferiti a soggetti diversi, ma aventi la stessa posizione nella sequenza digitale, possono essere riferiti ad aree diverse della superficie. Questo problema è stato risolto utilizzando Funzioni a Base Radiale che forniscono dei coefficienti a cui è possibile applicare direttamente le procedure statistiche.
Il problema è complicato dal fatto che il trattamento può generare, per alcuni coefficienti, degli effetti positivi su alcuni soggetti e negativi su altri e inoltre il numero dei coefficienti fornito dalla rappresentazione è notevolmente superiore al numero delle osservazioni. Per risolvere il primo di questi problemi è nato il multi-sided test. Il suo sviluppo in ambiente non parametrico ha contribuito a risolvere il secondo problema. Questo test è applicabile nelle situazioni in cui l'effetto di un trattamento può essere positivo su alcuni individui e negativo sugli altri. Tale situazione è sostanzialmente diversa da quella considerata nei tradizionali test bilaterali nei quali si assume che solo una delle due alternative può essere attiva, non entrambe. Il test multi-sided considera attive congiuntamente le due direzioni anche se in soggetti diversi. Al fine di affrontare questa situazione atipica, si possono applicare prima due ``goodness-of-fit'' tests, uno per gli effetti positivi e l'altro per quelli negativi e procedere poi con la loro combinazione non parametrica per via permutazione. Nelle situazioni in cui il numero di variabili è maggiore del numero di osservazioni, come nell'analisi di superfici, è conveniente utilizzare i test di permutazione poiché la potenza del test globale che si ottiene dalla combinazione dei test parziali, fatte salve alcune condizioni, aumenta monotonicamente al crescere della noncentralità.
Infine, con opportune tecniche di correzione per la molteplicità è possibile identificare zone delle superfici maggiormente interessate dal trattamento.