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Patassini, Massimiliano (2011) On the Dirichlet polynomial of the simple groups of Lie type. [Tesi di dottorato]

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Documento PDF (Tesi di dottorato)
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Abstract (inglese)

In this thesis we discuss three problems concerning the Dirichlet polynomial $P_S(s)$ of a simple group of Lie type $S$.

The first problem is a conjecture of Kennet Brown: if $G$ is a finite group, then the order complex of the coset poset of $G$ is not contractible. We prove that the conjecture holds for a large class $\mathfrak{C}$ of classical groups and we show how to generalize this result to the groups whose components are in the class $\mathfrak{C}$, under some assumptions.

The second problem is to determine whether the Dirichlet polynomial of a simple group is reducible or not in the ring of Dirichlet polynomials. We give a complete answer for the Dirichlet polynomials of the simple groups of Lie type. This allows us to find the factorization into irreducible of the Dirichlet polynomial of a group whose non-abelian chief factors are simple groups of Lie type, under some assumptions on the rank of these last groups.

The third problem is a conjecture of Erika Damian and Andrea Lucchini: if $S$ is a simple group and $G$ is a finite group such that $P_S(s)=P_G(s)$, then $G/\mathrm{Frat}(G)\cong S$. We complete the proof of this conjecture. This conjecture was proved for $S$ abelian, alternating and sporadic. Moreover, it was proved that if $G_1$ and $G_2$ are two non-isomorphic groups of Lie type defined over fields with the same characteristic, then $P_{G_1}(s)\neq P_{G_2}(s)$. We show that it is possible to recognize the characteristic of a group of Lie type form its Dirichlet polynomial. This is enough to complete the proof of the conjecture.

Abstract (italiano)

In questa tesi discuteremo tre problemi riguardanti il polinomio di Dirichlet $P_S(s)$ di $S$, gruppo semplice di tipo Lie.

Il primo problema è una congettura di Kennet Brown: se $G$ è un gruppo finito, allora il complesso simpliciale associato al coset poset di $G$ non è contraibile. Dimostreremo che questa congettura vale per un'ampia classe $\mathfrak{C}$ di gruppi classici e mostreremo come generalizzare questo risultato a gruppi le cui componenti appartengono alla classe $\mathfrak{C}$, sotto certe condizioni.

Il secondo problema consiste nel determinare quando il polinomio di Dirichlet di un gruppo semplice è riducibile nell'anello dei polinomi di Dirichlet. Daremo una risposta completa al problema per i polinomi di Dirichlet di gruppi semplici di tipo Lie. Questo ci permette di trovare la fattorizzazione in irriducibili del polinomio di Dirichlet di un gruppo i cui fattori principali non abeliani sono gruppi semplici di tipo Lie, con alcune ipotesi sul rango di questi ultimi gruppi.

Il terzo problema è una congettura di Erika Damian e Andrea Lucchini: se $S$ è un gruppo semplice e $G$ è un gruppo finito tale che $P_S(s)=P_G(s)$, allora $G/\mathrm{Frat}(G)\cong S$. Completeremo la dimostrazione di questa congettura, che era stata già dimostrata per $S$ gruppo abeliano, alterno e sporadico. Inoltre, era stato dimostrato che se $G_1$ e $G_2$ sono due gruppi di tipo Lie definiti su campi con la stessa caratteristica e non isomorfi, allora $P_{G_1}(s)\neq P_{G_2}(s)$. Per completare la dimostrazione della congettura, mostreremo che è possibile riconoscere la caratteristica di un gruppo di tipo Lie dal suo polinomio di Dirichlet.

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Tipo di EPrint:Tesi di dottorato
Relatore:Lucchini, Andrea
Dottorato (corsi e scuole):Ciclo 23 > Scuole per il 23simo ciclo > SCIENZE MATEMATICHE > MATEMATICA
Data di deposito della tesi:NON SPECIFICATO
Anno di Pubblicazione:09 Gennaio 2011
Parole chiave (italiano / inglese):Dirichlet polynomial, probabilistic zeta function, simple groups, groups of Lie type, contractibility, order complex, simplicial complex, irreducibility, classical groups
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/02 Algebra
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Matematica Pura e Applicata
Codice ID:3272
Depositato il:01 Ago 2011 10:01
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