Vai ai contenuti. | Spostati sulla navigazione | Spostati sulla ricerca | Vai al menu | Contatti | Accessibilità

| Crea un account

Buoso, Davide (2015) Shape sensitivity analysis of the eigenvalues of polyharmonic operators and elliptic systems. [Tesi di dottorato]

Full text disponibile come:

[img]
Anteprima
Documento PDF
952Kb

Abstract (inglese)

In this thesis, we study the dependence of the eigenvalues of elliptic partial
dierential operators upon domain perturbations in the N-dimensional
space. Namely, we prove analyticity results for the eigenvalues of polyharmonic
operators and elliptic systems of second order partial differential
equations, and we apply them to certain shape optimization problems. On
the other hand, we also prove spectral stability estimates for general elliptic
systems of partial differential equations of higher order. In order to prove
analyticity, we use a general technique developed by Lamberti and Lanza de
Cristoforis, and we obtain Hadamard-type formulas which are used to provide
a characterization of critical domains under volume constraint. As for
stability estimates of the eigenvalues, we prove indeed Lipschitz continuity
results with respect to the atlas distance, the Hausdor distance and the
Lebesgue measure. We adapt the arguments used by Burenkov and Lamberti
for elliptic operators to the case of general elliptic systems of partial
differential equations.
The thesis is organized as follows. Chapter 1 is dedicated to some preliminaries.
In Chapter 2 we consider the biharmonic operator under different
boundary conditions, namely Dirichlet, Neumann, intermediate and
Steklov. For all these cases we show analytic dependence of the eigenvalues
upon the domain and compute Hadamard-type formulas, which will be used
to provide a characterization of critical domains for the elementary symmetric
functions of the eigenvalues under volume constraint. Then we prove
that balls are critical domains for such functions of the eigenvalues of all
these problems under volume constraint. Regarding the Steklov problem,
we also prove that the ball is a maximizer of the fundamental tone among all
bounded open sets of given measure. In Chapter 3 we consider the Dirichlet
eigenvalue problem for general polyharmonic operators. As in Chapter 2, we
prove analyticity of the elementary symmetric functions of the eigenvalues
providing Hadamard-type formulas, and we give a characterization of critical
domains under volume constraint. Then we show that for all the polyharmonic operators
the ball is a critical domain. Chapter 4 is devoted to the
stability estimates of the eigenvalues of elliptic systems of partial differential
equations with Dirichlet and Neumann boundary conditions. Adapting
the arguments used by Burenkov and Lamberti for elliptic operators, we
can prove estimates via the atlas distance, the lower Hausdor-Pompeiu
deviation and the Lebesgue measure. In Chapter 5 we prove analyticity,
Hadamard-type formulas and criticality conditions for second order elliptic
systems under Dirichlet and Neumann boundary conditions. We also show
that, if the system is rotation invariant, then balls are critical domains under
volume constraint. Finally, in Chapter 6 we consider the Reissner-Mindlin
problem for the vibration of a clamped plate. We first prove estimates similar
to those of Chapter 4, which are independent of the thickness of the
plate. Then we prove analyticity and Hadamard-type formulas for the elementary
symmetric functions of the eigenvalues, which are used to provide a
characterization of criticality. Then, after proving that the Reissner-Mindlin
system is rotation invariant, we show that balls are critical domains under
volume constraint.

Abstract (italiano)

In questa tesi, studiamo la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali
ellittici da perturbazioni del dominio nello spazio N-dimensionale.
In particolare, proviamo risultati di analiticità degli autovalori di operatori
poliarmonici e sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali del secondo
ordine, e li applichiamo a problemi di ottimizzazione di forma; d'altro
canto, otteniamo anche stime di stabilità spettrale per sistemi ellittici generali
di equazioni alle derivate parziali di ordine superiore. Per dimostrare
l'analiticità usiamo una tecnica generale sviluppata da Lamberti e Lanza
de Cristoforis, e otteniamo delle formule alla Hadamard che ci permettono
di fornire una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume.
Per quanto riguarda le stime di stabilità degli autovalori, dimostriamo
risultati di lipschitzianità rispetto alla distanza d'atlante, alla distanza di
Hausdorff e alla misura di Lebesgue, adattando gli argomenti utilizzati da
Burenkov e Lamberti per operatori ellittici al caso di sistemi ellittici generali
di equazioni alle derivate parziali.
La tesi e organizzata come segue. Il Capitolo 1 e dedicato ad alcuni
preliminari. Nel Capitolo 2 consideriamo l'operatore biarmonico con diverse
condizioni al contorno, ovvero di Dirichlet, di Neumann, intermedie e di
Steklov. Per tutti questi casi mostriamo la dipendenza analitica degli autovalori
dal dominio e calcoliamo formule alla Hadamard, che vengono usate
per formire una caratterizzazione dei domini critici per le funzioni elementari
simmetriche degli autovalori sotto il vincolo di volume; a seguire proviamo
che le palle sono domini critici per tali funzioni degli autovalori di tutti
questi problemi sotto il vincolo di volume. Riguardo al problema di Steklov,
mostriamo anche che la palla e un massimizzatore del tono fondamentale
tra tutti gli aperti limitati di misura fissata. Nel Capitolo 3 consideriamo
il problema agli autovalori con condizioni di Dirichlet per gli operatori poliarmonici.
Come nel Capitolo 2, dimostriamo l'analiticità delle funzioni
elementari simmetriche degli autovalori fornendo formule alla Hadamard, e
diamo una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume; a
seguire mostriamo che per tutti gli operatori poliarmonici la palla e un dominio
critico. Il Capitolo 4 e dedicato alle stime di stabilità degli autovalori
dei sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo
di Dirichlet e di Neumann. Adattando gli argomenti usati da Burenkov e
Lamberti per operatori ellittici siamo in grado di provare stime con la distanza
d'atlante, con la deviazione inferiore di Hausdorff-Pompeiu e con la
misura di Lebesgue. Nel Capitolo 5 dimostriamo analiticità, formule alla
Hadamard e condizioni di criticità per sistemi ellittici del secondo ordine
con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Mostriamo anche che,
se il sistema e invariante per rotazioni, allora le palle sono domini critici
sotto il vincolo di volume. Infine, nel Capitolo 6 consideriamo il problema
di Reissner-Mindlin per la vibrazione di una piastra incastrata. Prima
dimostriamo stime simili a quelle del Capitolo 4, che non dipendono dallo
spessore della piastra; poi dimostriamo l'analiticità e formule alla Hadamard
per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori, che vengono usate
per fornire una caratterizzazione di criticità; a seguire, dopo aver provato
che il sistema di Reissner-Mindlin e invariante per rotazioni, mostriamo che
le palle sono domini critici sotto il vincolo di volume.

Statistiche Download - Aggiungi a RefWorks
Tipo di EPrint:Tesi di dottorato
Relatore:Lamberti, Pier Domenico
Dottorato (corsi e scuole):Ciclo 27 > scuole 27 > SCIENZE MATEMATICHE > MATEMATICA
Data di deposito della tesi:27 Gennaio 2015
Anno di Pubblicazione:27 Gennaio 2015
Parole chiave (italiano / inglese):polyharmonic operators, Hadamard formulas, stability estimates, systems of PDEs, plates, Steklov boundary conditions, shape optimization
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/05 Analisi matematica
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Matematica
Codice ID:7599
Depositato il:16 Nov 2015 14:54
Simple Metadata
Full Metadata
EndNote Format

Download statistics

Solo per lo Staff dell Archivio: Modifica questo record