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Tira, Michael D. (2015) More than space. A new insight into number representation. [Ph.D. thesis]

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Abstract (english)

How do we represent numbers and make mathematical calculations? This question is the main focus of the present work and it falls in the domain of mathematical cognition, the field of knowledge concerned with the cognitive and neurological processes that underline mathematical abilities.
The mental number line, with its analogue left-to-right orientation of growing numerical values, is often regarded as the best candidate to the role of mental representation of numbers. Many studies have examined the so-called mental number line taking the Spatial-Numerical Association of Response Codes (SNARC) effect as evidence for a unique connection between space and number. However, left-to-right orientation has been shown to extend to other dimensions, including duration and physical size. Such observations converge with the notion of a general magnitude system, where different magnitudes share neural and conceptual resources. This rise an important question about the nature of the information represented along the mental number line: is it exclusive to number or not?
The present work is divided in 4 chapters. Chapter 1 addresses several issues in mental representations of numbers. Research in mathematical cognition has a long history and has made considerable progress over the last decades; sometimes this big volume of data makes it difficult to gain a global view of what the state-of-the-art is. For this reason, Chapter 1 will offer an overview of the different mental representations of numbers, whether innate or acquired, precise or approximate, symbolic or non symbolic. On the one hand, the most important insight gained on mental representations of numbers are listed; on the other, literature on the representation of time, space, number and intensity, related with number representation, are revised to show the similarities between these domains, and how those are indicative of common processing mechanisms. The theoretical background specific for the present work is introduced. A great body of evidences point out that the representation and processing of numbers is associated to an activation of spatial codes. One of the classical view of numerical cognition on this subject states that spatial codes are an imprescindible component of the long-term representation of numerical magnitude information. According to this idea, refereed to as number mental line hypothesis, numbers are systematically associated to spatial codes, as if numerical magnitudes were represented along a spatial continuum with small numbers to the left and large numbers to the right. Nevertheless, the origin of the association between numbers and space is not completely clear to date. Studies will be presented showing that the spatial coding of numbers is not stable and is not necessarily the result of long-term memory associations but, on the contrary, a flexible type of representation built during cognitive processing as the result of task demands and spatial coding preferences. Moreover, studies on the association of numbers with others, non-spatial, magnitudes will be reviewed.
In Chapter 2 a series of three studies are presented, in all of them a numerosity production method of response was used. Participants performed approximate arithmetic task on symbolically presented numbers, they were instructed to respond by the production of a dot pattern, the set size of which was controlled by a rotating knob. Study 1 shows two experiments in which participants judged the average numerosity between two sequentially presented dot patterns. In Experiment 1, the response was given on a 0–20 numerical scale (categorical scaling), and in Experiment 2, the response was given by the production of a dot pattern of the desired numerosity numerosity production). Data showed that responses were shaped according to an averaging integration model. This suggests the linearity in the response scale of both of the response methods in the approximate arithmetic task. More important, the two operands were found to have the same influence in determining the result. These two experiments served as a validation tool of the numerosity production method of response to be applied in the sequent studies.
Study 2 proposes one experiment using the numerosity production method of response to test the influence of the force required to respond on the Operational Momentum (OM) effect. The OM effect is the finding of a systematic tendency to overestimate the results of addition problems and underestimate the results of subtraction problems under conditions that prevent exact calculation. In this experiment the force required to turn the knob has been manipulated in three between subjects blocks. It has been suggested that the OM effect depend on the spatial representation of numbers; by showing that the elimination of psycho-motor feedback nullifies the difference between addition and subtraction, evidence are provided that the OM effect is modulated by information from a magnitude different from space (required force), even when such information is entirely task-irrelevant.
Study 3 proposes an experiment on the comparison of four different effects classically considered examples of the automatic spatial organization of numerical information. The spatial-numerical association of response codes (SNARC), that is, the tendency to be faster in responding to small numbers on the left and to bigger number on the right. The distance effect, that is, close numbers are more difficult to compare than numbers far apart. The size congruency effect, that is, numbers are identified more rapidly as bigger or smaller than 5 if their physical size is congruent with the correct answer. And last but not least, the OM effect. Those effects have been tested together to investigate the relationship among them with an inter-individual differences approach. The presence of all the effects object of this study was verified in the participants set. Linear regression have been used to calculate the coefficient of each subject for each effect in order to test the correlation between all the effects this study take into consideration. The result of this study, even if not conclusive, point in the direction of a common representational mechanism underling the tested numerical effects (SNARC, size congruency, distance ). Moreover, the operational bias seem to have a negative correlation only with the SNARC effect, suggesting a connection between the two, but weekending the mental number line account of those effects.
In Chapter 3 conclusions are drawn upon the presented experimental work taking into account different explanatory frameworks. The present research work use a relatively unknown method of response to numerical tasks; the numerosity production method of response. This method shows a wide range of applications and opens new scenarios in mathematical cognition, providing a good instrument to understand in detail the implications of action in mathematical cognition. Moreover, the experiments here presented provide clear indications for a role of non-spatial psycho-motor feedback in arithmetical calculations carried out with the numerosity production method of response, thus challenging the classical interpretation of OM as an effect derived from a purely spatial representation of numbers. Moreover,
considering that the force information was presented haptically but numerical information visually, such integration across sensory modalities is consistent with the General magnitude system hypothesis suggesting that representations of magnitudes are multimodal. Study 3 comparing, at our knowledge for the first time, different effects connected to the mental number line hypothesis, provide new insight on the shared processing undergoing these classical findings of mathematical cognition. Our findings, although not conclusive, renew the question on the nature of the representation of numbers.

Abstract (italian)

Come possiamo rappresentare i numeri e fare calcoli matematici? Questa domanda è l'obiettivo principale del presente lavoro e cade nel campo della cognizione matematica, il quale si interessa dei processi cognitivi e neurologici che sottendono le abilità matematiche.
L'ipotesi della linea numerica mentale (MNL) prevede che i numeri siano rappresentati mentalmente sottoforma di una misura continua (analogica) con valori numerici crescenti da sinistra a destra. La MNL viene considerata uno dei migliori modelli per la rappresentazione mentale dei numeri. Molti studi hanno esaminato la MNL considerando l’effetto SNARC (Spatial-Numerical Association of Response Codes) come prova per una connessione univoca tra spazio e numero. Tuttavia, è stato dimostrato che la rappresentazione mentale di valori piccoli a sinistra e di valori più grandi esiste anche per grandezze diverse dalla numerosità, compresa la durata temporale e la grandezza fisica. Queste osservazioni convergono con l'idea di un sistema dove diverse grandezze (ad esempio tempo, spazio e numerosità) condividono risorse neurali e concettuali, definito sistema generale di elaborazione delle grandezze (GMS). Questo solleva un'importante domanda sulla natura delle informazioni rappresentate lungo la MNL: si tratta esclusivamente di informazioni numeriche?
Il presente lavoro è diviso in 4 capitoli. Il capitolo 1 affronta diversi problemi riguardanti la rappresentazione mentale dei numeri. La ricerca nel campo della cognizione matematica ha una lunga storia e ha fatto notevoli progressi negli ultimi decenni; a volte questo grande volume di dati rende difficile ottenere una visione globale di quello che è lo stato dell'arte. Per questo motivo il Capitolo 1 offrirà una 1panoramica dei diversi modelli di rappresentazione mentale dei numeri, sia innati che acquisiti, precisi o approssimati, simbolici o non simbolici. Prima di tutto sono elencate le principali scoperte sulla rappresentazione mentale dei numeri; in secondo luogo verrà presentata una carrellata sulla letteratura che mostra come le rappresentazioni di tempo, spazio, intensità e numero interagiscano tra loro e probabilmente condividano meccanismi di elaborazione; questo fornirà un adeguato contesto teorico necessario alla chiara comprensione dei lavori sperimentali presentati nei capitoli successivi. Una gran quantità di risultati scientifici dimostra che la rappresentazione e l'elaborazione dei numeri siano associate all'attivazione di una rappresentazione di natura spaziale. Una delle posizioni canoniche della cognizione numerica a tal riguardo afferma che la codifica spaziale è una componente imprescindibile della rappresentazione mentale a lungo termine dei numeri. Secondo questa idea, che porta il nome di ipotesi della linea numerica mentale, i numeri sarebbero rappresentati come una linea continua con i numeri più piccoli a sinistra e quelli più grandi a destra. Tuttavia l'origine dell'associazione tra numeri e spazio non è stata ancora totalmente chiarita. Verranno presentati degli studi che dimostrano come la codifica spaziale dei numeri non sia, in effetti, stabile nè necessariamente il risultato di un'associazione a lungo termine, ma al contrario sia una rappresentazione flessibile costruita a partire dalle necessità di elaborazione delle informazioni specifiche per i compiti che ogniuno di noi si trova a svolgere quotidianamente. Inoltre saranno presi in considerazione studi sull'associazione dei numeri con grandezze prive di caratteristiche spaziali.
Nel Capitolo 2 viene presentata una serie di tre studi sperimentali ed in ognuno di essi è stato impiegato un metodo di risposta basato sulla produzione di numerosità. I partecipanti hanno eseguito un compito di aritmetica approssimata su numeri presentati, a seconda dello studio, in notazione simbolica o non simbolica. In tutti gli studi presentati i partecipanti sono stati istruiti ad utilizzare un metodo di risposta caratterizzato dalla produzione di numerosità non simboliche, essi infatti fornivano la risposta al compito specifico nel quale erano impegnati attraverso la produzione, sullo schermo di un computer, di un insieme di punti la cui numerosità era controllata dalla rotazione di una manopola posta davanti ai partecipanti e connessa al computer. Un apposito programma si occupava di registrare il grado di rotazione della manopola ed aggiornare il numero di punti presentati sullo schermo.
Lo studio 1 presenta due esperimenti in cui i partecipanti giudicavano la numerosità media tra due insiemi di punti presentati in sequenza. Nell'Esperimento 1 di questo studio, i partecipanti utilizzavano una scala di numerica di risposta da 0 a20 (scala categorica), mentre nell'Esperimento 2 la risposta è stata data attraverso il metodo di risposta basato sulla produzione di numerosità. I risultati di questo studio hanno mostrato come le risposte siano state fornite secondo un modello di integrazione Average. Questo suggerisce una linearità nella scala risposta per entrambi i metodi usati nel compito di aritmetica approssimativa. Più importante, i due operandi mostravano di esercitare la stessa influenza sulla risposta fornita dai partecipanti, il che esclude un effetto sequenza o recenza legata ai compiti impiegati. Questi due esperimenti sono serviti come strumento di validazione del metodo di risposta basato sulla produzione di numerosità al fine della sua applicazione negli studi successivi.
Lo Studio 2 presenta un esperimento in cui il metodo di risposta basato sulla produzione di numerosità è stato utilizzato per testare l'effetto della forza necessaria a ruotare la manopola usata per portare a termine un compito di aritmetica mentale.
In particolare si è verificata l'influenza della variabile Forza sull'effetto denominato Operational Momentum (OM). L'effetto OM è la tendenza sistematica a sovrastimare i risultati di addizione e a sottovalutare i risultati di sottrazioni in condizioni che impediscono un esatto conteggio. In questo esperimento la forza necessaria per ruotare la manopola è stata manipolata in tre blocchi tra i soggetti. La letteratura ha suggerito che l'effetto OM possa dipendere da una rappresentazione spaziale dei numeri; tuttavia i risultati di questo studio dimostrano che l'eliminazione di un feedback psicomotorio quale la forza richiesta per ruotare la manopola, porta all'annullamento della differenza tra addizioni e sottrazioni. I risultati di questo studio forniscono evidenze sperimentali dell'influenza di una grandezza priva di connotazioni spaziali quale la Forza su un fenomeno di aritmetica mentale come l'effetto OM. Questo risultato è particolarmente interessante considerando che la Forza fosse una variabile interamente irrilevante per lo svolgimento del compito.
Lo Studio 3 presenta un esperimento sul confronto tra quattro diversi effetti classicamente considerati esempi dell'automaticità dell'attivazione di codici spaziali durante l'elaborazione di informazioni numeriche.
Gli effetti che sono stati considerati in questo studio sono l'effetto SNARC, l'effetto distanza, l'effetto di congruenza delle dimensioni e l'effetto OM. L'effetto SNARC: la tendenza ad essere più veloci nel rispondere a numeri piccoli sulla sinistra e a numeri più grandi a destra. L'effetto distanza: il fatto per cui numeri vicini tra loro sono piu difficili da discriminare rispetto a numeri distanti tra loro. L'effetto di congruenza delle dimensioni: il fatto che i numeri sono identificati come maggiori o minori di 5 più rapidamente se la loro dimensione fisica è congruente con la loro grandezza numerica. Ultimo ma non meno importante, l'effetto OM. Tali effetti sono stati testati insieme per indagare i rapporti che li legano con un approccio basato sulle differenze individuali. La presenza di ognuno degli effetti è stata verificata. Al fine di valutare la correlazione tra i vari effetti in esame, è stato calcolato il coefficiente di regressione lineare di ciascun effetto su ognuno dei partecipanti. I risultati di questo studio, anche se non conclusivi, puntano in direzione di una rappresentazione mentale comune tra gli effetti numerici testati (effetto SNARC, effetto di congruenza della dimensione, effetto distanza). L'effetto OM, inoltre, sembra correlare negativamente con l'effetto SNARC, suggerendo una connessione tra i due, ma contraddicendo la teoria della linea numerica mentale.
Nel capitolo 3 si traggono conclusioni sul lavoro sperimentale presentato tenendo conto di diversi quadri esplicativi. Il presente lavoro di ricerca utilizza un metodo di risposta per compiti numerici relativamente poco noto: il metodo di risposta basato sulla produzione di numerosità. Questo metodo presenta una vasta gamma di applicazioni e apre nuovi scenari nel campo della cognizione matematica, fornendo un valido strumento per comprendere nel dettaglio le implicazioni dell'azione nella cognizione matematica. Gli esperimenti qui presentati, inoltre, forniscono indicazioni chiare rispetto al ruolo del feedback psicomotorio con caratteristiche non spaziali in compiti di aritmetica mentale portati a termine attraverso un metodi di risposta basato sulla produzione di numerosità, mettendo così in discussione l'interpretazione classica dell'effetto OM come effetto derivato da una rappresentazione puramente spaziale dei numeri. Considerando che le informazioni riguardanti la forza sono state presentate attraverso un feedback tattile mentre le informazioni numeriche sono state presentate visivamente, tale integrazione tra modalità sensoriali diverse è coerente con l'ipotesi di un sistema generale per le grandezze.
Lo studio 3 confrontando, a nostra conoscenza per la prima volta, diversi effetti legati all'ipotesi della linea numerica mentale, fornisce nuove informazioni sui meccanismi di elaborazioni condivisi a questi classici effetti nel campo della cognizione matematica. I nostri risultati, anche se non conclusivi, rinnovano la domanda sulla natura della rappresentazione mentale dei numeri.

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EPrint type:Ph.D. thesis
Tutor:Tagliabue, Mariaelena
Ph.D. course:Ciclo 27 > scuole 27 > SCIENZE PSICOLOGICHE
Data di deposito della tesi:01 February 2015
Anno di Pubblicazione:02 February 2015
Key Words:non-symbolic arithmetic; Force; Operational Momentum; SNARC; Distance effect; size-congruency effect;
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 11 - Scienze storiche, filosofiche, pedagogiche e psicologiche > M-PSI/01 Psicologia generale
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Psicologia Generale
Codice ID:7903
Depositato il:10 Nov 2015 11:49
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