Pozza, Stefano (2015) GAUSS QUADRATURE FOR LINEAR FUNCTIONALS AND NEW SEQUENCE TRANSFORMATIONS. [Ph.D. thesis]

Full text disponibile come:

 Preview
PDF Document - Accepted Version
1471Kb

## Abstract (english)

This thesis is divided into two parts. In the first one we present an extension of the Gauss quadrature formula for the approximation of the quasi definite linear functionals. This extension is obtained using the orthogonal polynomials theory and, in particular, using the relation between sequences of these polynomials and some matrices called Jacobi matrices. We call this proposed formula n-weight Gauss quadrature and we show that it satisfies all the main properties of the “classical” formula, which we call n-node Gauss quadrature. Furthermore, we show that the proposed quadrature can be computed by the non-Hermitian Lanczos algorithm, in the same way in which the n-node Gauss quadrature can be computed by the Hermitian Lanczos algorithm. In the last chapter of the first part we present some preliminary results about possible applications. We approximate the centrality indexes of a complex network. These are indexes that measure the importance of a node in terms of communicability in a graph.
In the second part we propose some sequence transformations. Using sequence transformations we can use the elements of a sequence to obtain another sequence which converges faster to the same limit of the original one. Indeed, in numerical analysis and applied mathematics we often consider sequences arising, for example, from iterative methods that converge so slowly that they become useless. It has been proved that there cannot exist a transformation able to accelerate every sequence. Moreover, usually better results are given by transformations which are built to accelerate little classes of sequences. For this reason in the second chapter of this part we define three new transformations able to accelerate a class of sequences which extends the class of the well-known Aitken's process. We then consider the best of the three transformations and give some necessary conditions under which it accelerates the convergence of a given sequence. Finally, this transformation is compared with some of the most used transformations (Aitken's process, ε-algorithm, θ-algorithm, Levin type transformation) obtaining competitive results.

## Abstract (italian)

Questa tesi si compone di due parti. Nella prima parte viene presentata un'estensione della formula di quadratura di Gauss per l'approssimazione dei funzionali lineari quasi-definiti. Tale estensione viene costruita partendo dalla teoria dei polinomi ortogonali e in particolare dalla relazione tra le successioni di tali polinomi e alcune matrici dette matrici di Jacobi. La formula qui proposta, detta quadratura di Gauss a n pesi, soddisfa tutte le principali proprietà delle formula “classica” che definiremo quadratura di Gauss a n nodi. Inoltre, la tesi mostra come tale estensione possa essere calcolata tramite l'algoritmo di Lanczos non Hermitiano, al pari della formula a n nodi che può essere ottenuta tramite l'algoritmo di Lanczos Hermitiano. Al termine della prima parte sono presentati alcuni risultati preliminari relativi a una delle possibili applicazioni. Si tratta dell'approssimazione di indici di centralità di reti complesse, ovvero indici che stabiliscono quale nodo in un grafo è considerato più importante in termini di facilità di trasmissione di informazioni con altri nodi.
Nella seconda parte sono proposte alcune trasformazioni di successioni. Tali trasformazioni sono utilizzate al fine di ottenere, a partire da alcuni elementi di una successione data, un'altra successione che converge allo stesso limite ma a velocità maggiore. Infatti, spesso in analisi numerica e nella matematica applicata vi sono esempi di successioni, ottenute per esempio dai metodi iterativi, che convergono talmente lentamente da risultare inutili. È ben nota l’impossibilità di definire una trasformazione in grado di accelerare la convergenza di qualunque successione. Inoltre, usualmente le trasformazioni costruite per accelerare piccole classi di successione danno risultati migliori. Per questa ragione nel secondo capitolo di questa parte sono definite tre nuove trasformazioni in grado di accelerare una classe di successioni che estende quella relativa al noto processo di Aitken. Nella tesi vengono poi date condizioni necessarie affinché si abbia accelerazione della convergenza per la migliore delle tre trasformazioni proposte. Infine, tale trasformazione viene confrontata con altre trasformazioni. Da tale confronto si sono ottenuti risultati competitivi con alcuni dei più noti metodi di accelerazione (processo di Aitken, algoritmo ε, algoritmo θ, trasformazione di Levin).