The Bernstein Markov Property for a compact set E and a positive finite mea- sure μ supported on E is a strong comparability assumption between L μ 2 and uni- form norms on E of polynomials (or other nested families of functions) as their degree tends to infinity. Admissible meshes are sequences of sampling sets A k ⊂ E whose cardinality is growing sub-exponentially with respect to k and for which there exists a positive finite constant C such that max E |p| ≤ C max A k |p| for any polynomial of degree at most k. These two mathematical objects have several applications and motivations from Approximation Theory and Pluripotential Theory, the study of plurisubharmonic functions in several complex variables. The properties of Bernstein Markov measures and admissible meshes for a given compact set E are very similar, indeed they may be seen as the continuous and the discrete approach to the same problem. This work is concerned on providing sufficient conditions for some different instances of the Bernstein Markov property and explicitly constructing admissible meshes. As first problem, we study sufficient conditions for a version of the Bernstein Markov property for rational functions on the complex plane and its relation with the polynomial Bernstein Markov property. In Chapter 5, we consider the case of a compact subset E of an algebraic pure m-dimensional subset A of C n and we prove a sufficient condition for the Bernstein Markov property for the traces of polynomials on E. To this aim, we provide two new results in Pluripotential Theory regarding the convergence and the comparability of the relative capacities, the relative and global extremal functions and the Chebyshev constants on a (possibly non-smooth) pure m-dimensional algebraic variety in C n , which are of independent interest. In the last part of the dissertation, we provide some construction procedures for admissible meshes on some classes of real compact sets. Finally, we present some algorithms, based on admissible meshes, for the numerical approximation of the most relevant objects in Pluripotential Theory, namely, the transfinite diameter, the Siciak Zaharjuta extremal function and the pluripotential equilibrium measure.

La proprietà di Bernstein Markov per un compatto E ed una misura positiva finita μ avente supporto in E è un’ assunzione di comparabilità asintotica tra le norme uniformi ed L μ 2 dei polinomi di grado al più k (o altre famiglie innestate di funzioni) al tendere all’ infinito di k. Le Admissible Meshes sono sequenze di sottoinsiemi finiti A k del compatto E la cui cardinalità cresce in modo subesponenziale rispetto a k e per i quali esiste una costante positiva C tale che max E |p| ≤ C max A k |p| per ogni polinomi di grado al più k. Questi due oggetti matematici hanno molte appliicazioni e motivazioni prove- nienti dalla Teoria dell’ Approssimazione e dalla Teoria del Pluripotenziale, lo stu- dio delle funzioni plurisubarmoniche in più variabili complesse. Le proprietà delle misure di Bernstein Markov e delle admissible meshes per un dato compatto E sono molto simili, infatti le due definizioni possono essere viste come gli approcci rispettivamente continuo e discreto dello stesso problema. Questo lavoro si concentra nel fornire condizioni sufficienti per la proprietà di Bernstein Markov in diverse situazioni e nella costruzione esplicita di admissible meshes. Come primo problema vengono studiate condizioni sufficienti per una versione della proprietà di Bernstein Markov per successioni di funzioni razionali nel piano complesso in relazione alla stessa proprietà per i polinomi. Nel Capitolo 5 viene considerato il caso di un compatto E sottoinsieme di una varietà algebrica A ⊂ C n di dimensione pura m < n ed irriducibile e quindi provata una condizione sufficiente per la proprietà di Bernstein Markov per le tracce dei polinomi su E. A questo scopo vengono provati due risultati nuovi in Teoria del Pluripoten- ziale riguardanti la convergenza e la comparabilità della capacità relativa (di Monge Ampère), delle funzioni plurisubarmoniche estremali globali e relative e delle co- stanti di Chebyshev per sottoinsiemi E j di un dato compatto E della varietà alge- brica A, anche nel caso A sia singolare. Tali risultati sono di interesse indipendente. Nell’ultima parte della tesi vengono provate ed illustrate alcune procedure per la costruzione di admissible meshes per alcune classi di compatti reali. In ultimo vengono presentati alcuni nuovi algoritmi, basati sulle admissible meshes, per l’ approssimazione numerica delle più rilevanti grandezze in Teoria del Pluripotenziale: il diametro transfinito, la funzione estremale di Siciak-Zaharjuta e la misura di equilibrio pluripotenziale.

Bernstein Markov Properties and Applications / Piazzon, Federico. - (2016 Jan 30).

Bernstein Markov Properties and Applications

Piazzon, Federico
2016

Abstract

La proprietà di Bernstein Markov per un compatto E ed una misura positiva finita μ avente supporto in E è un’ assunzione di comparabilità asintotica tra le norme uniformi ed L μ 2 dei polinomi di grado al più k (o altre famiglie innestate di funzioni) al tendere all’ infinito di k. Le Admissible Meshes sono sequenze di sottoinsiemi finiti A k del compatto E la cui cardinalità cresce in modo subesponenziale rispetto a k e per i quali esiste una costante positiva C tale che max E |p| ≤ C max A k |p| per ogni polinomi di grado al più k. Questi due oggetti matematici hanno molte appliicazioni e motivazioni prove- nienti dalla Teoria dell’ Approssimazione e dalla Teoria del Pluripotenziale, lo stu- dio delle funzioni plurisubarmoniche in più variabili complesse. Le proprietà delle misure di Bernstein Markov e delle admissible meshes per un dato compatto E sono molto simili, infatti le due definizioni possono essere viste come gli approcci rispettivamente continuo e discreto dello stesso problema. Questo lavoro si concentra nel fornire condizioni sufficienti per la proprietà di Bernstein Markov in diverse situazioni e nella costruzione esplicita di admissible meshes. Come primo problema vengono studiate condizioni sufficienti per una versione della proprietà di Bernstein Markov per successioni di funzioni razionali nel piano complesso in relazione alla stessa proprietà per i polinomi. Nel Capitolo 5 viene considerato il caso di un compatto E sottoinsieme di una varietà algebrica A ⊂ C n di dimensione pura m < n ed irriducibile e quindi provata una condizione sufficiente per la proprietà di Bernstein Markov per le tracce dei polinomi su E. A questo scopo vengono provati due risultati nuovi in Teoria del Pluripoten- ziale riguardanti la convergenza e la comparabilità della capacità relativa (di Monge Ampère), delle funzioni plurisubarmoniche estremali globali e relative e delle co- stanti di Chebyshev per sottoinsiemi E j di un dato compatto E della varietà alge- brica A, anche nel caso A sia singolare. Tali risultati sono di interesse indipendente. Nell’ultima parte della tesi vengono provate ed illustrate alcune procedure per la costruzione di admissible meshes per alcune classi di compatti reali. In ultimo vengono presentati alcuni nuovi algoritmi, basati sulle admissible meshes, per l’ approssimazione numerica delle più rilevanti grandezze in Teoria del Pluripotenziale: il diametro transfinito, la funzione estremale di Siciak-Zaharjuta e la misura di equilibrio pluripotenziale.
30-gen-2016
The Bernstein Markov Property for a compact set E and a positive finite mea- sure μ supported on E is a strong comparability assumption between L μ 2 and uni- form norms on E of polynomials (or other nested families of functions) as their degree tends to infinity. Admissible meshes are sequences of sampling sets A k ⊂ E whose cardinality is growing sub-exponentially with respect to k and for which there exists a positive finite constant C such that max E |p| ≤ C max A k |p| for any polynomial of degree at most k. These two mathematical objects have several applications and motivations from Approximation Theory and Pluripotential Theory, the study of plurisubharmonic functions in several complex variables. The properties of Bernstein Markov measures and admissible meshes for a given compact set E are very similar, indeed they may be seen as the continuous and the discrete approach to the same problem. This work is concerned on providing sufficient conditions for some different instances of the Bernstein Markov property and explicitly constructing admissible meshes. As first problem, we study sufficient conditions for a version of the Bernstein Markov property for rational functions on the complex plane and its relation with the polynomial Bernstein Markov property. In Chapter 5, we consider the case of a compact subset E of an algebraic pure m-dimensional subset A of C n and we prove a sufficient condition for the Bernstein Markov property for the traces of polynomials on E. To this aim, we provide two new results in Pluripotential Theory regarding the convergence and the comparability of the relative capacities, the relative and global extremal functions and the Chebyshev constants on a (possibly non-smooth) pure m-dimensional algebraic variety in C n , which are of independent interest. In the last part of the dissertation, we provide some construction procedures for admissible meshes on some classes of real compact sets. Finally, we present some algorithms, based on admissible meshes, for the numerical approximation of the most relevant objects in Pluripotential Theory, namely, the transfinite diameter, the Siciak Zaharjuta extremal function and the pluripotential equilibrium measure.
Pluripotential Theory, asymptotic of Orthogonal Polynomials
Bernstein Markov Properties and Applications / Piazzon, Federico. - (2016 Jan 30).
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Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: https://hdl.handle.net/11577/3424517
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