Vai ai contenuti. | Spostati sulla navigazione | Spostati sulla ricerca | Vai al menu | Contatti | Accessibilità

| Crea un account

Piazzon, Federico (2016) Bernstein Markov Properties and Applications. [Tesi di dottorato]

Full text disponibile come:

[img]
Anteprima
Documento PDF - Versione sottomessa
2670Kb

Abstract (inglese)

The Bernstein Markov Property for a compact set E and a positive finite mea-
sure μ supported on E is a strong comparability assumption between L μ 2 and uni-
form norms on E of polynomials (or other nested families of functions) as their
degree tends to infinity.
Admissible meshes are sequences of sampling sets A k ⊂ E whose cardinality
is growing sub-exponentially with respect to k and for which there exists a positive
finite constant C such that max E |p| ≤ C max A k |p| for any polynomial of degree at
most k.
These two mathematical objects have several applications and motivations from
Approximation Theory and Pluripotential Theory, the study of plurisubharmonic
functions in several complex variables.
The properties of Bernstein Markov measures and admissible meshes for a
given compact set E are very similar, indeed they may be seen as the continuous
and the discrete approach to the same problem.
This work is concerned on providing sufficient conditions for some different
instances of the Bernstein Markov property and explicitly constructing admissible
meshes.
As first problem, we study sufficient conditions for a version of the Bernstein
Markov property for rational functions on the complex plane and its relation with
the polynomial Bernstein Markov property.
In Chapter 5, we consider the case of a compact subset E of an algebraic pure
m-dimensional subset A of C n and we prove a sufficient condition for the Bernstein
Markov property for the traces of polynomials on E.
To this aim, we provide two new results in Pluripotential Theory regarding the
convergence and the comparability of the relative capacities, the relative and global
extremal functions and the Chebyshev constants on a (possibly non-smooth) pure
m-dimensional algebraic variety in C n , which are of independent interest.
In the last part of the dissertation, we provide some construction procedures
for admissible meshes on some classes of real compact sets.
Finally, we present some algorithms, based on admissible meshes, for the
numerical approximation of the most relevant objects in Pluripotential Theory,
namely, the transfinite diameter, the Siciak Zaharjuta extremal function and the
pluripotential equilibrium measure.

Abstract (italiano)

La proprietà di Bernstein Markov per un compatto E ed una misura positiva finita
μ avente supporto in E è un’ assunzione di comparabilità asintotica tra le norme
uniformi ed L μ 2 dei polinomi di grado al più k (o altre famiglie innestate di funzioni)
al tendere all’ infinito di k.
Le Admissible Meshes sono sequenze di sottoinsiemi finiti A k del compatto E
la cui cardinalità cresce in modo subesponenziale rispetto a k e per i quali esiste
una costante positiva C tale che max E |p| ≤ C max A k |p| per ogni polinomi di grado
al più k.
Questi due oggetti matematici hanno molte appliicazioni e motivazioni prove-
nienti dalla Teoria dell’ Approssimazione e dalla Teoria del Pluripotenziale, lo stu-
dio delle funzioni plurisubarmoniche in più variabili complesse.
Le proprietà delle misure di Bernstein Markov e delle admissible meshes per
un dato compatto E sono molto simili, infatti le due definizioni possono essere
viste come gli approcci rispettivamente continuo e discreto dello stesso problema.
Questo lavoro si concentra nel fornire condizioni sufficienti per la proprietà di
Bernstein Markov in diverse situazioni e nella costruzione esplicita di admissible
meshes.
Come primo problema vengono studiate condizioni sufficienti per una versione
della proprietà di Bernstein Markov per successioni di funzioni razionali nel piano
complesso in relazione alla stessa proprietà per i polinomi.
Nel Capitolo 5 viene considerato il caso di un compatto E sottoinsieme di una
varietà algebrica A ⊂ C n di dimensione pura m < n ed irriducibile e quindi provata
una condizione sufficiente per la proprietà di Bernstein Markov per le tracce dei
polinomi su E.
A questo scopo vengono provati due risultati nuovi in Teoria del Pluripoten-
ziale riguardanti la convergenza e la comparabilità della capacità relativa (di Monge
Ampère), delle funzioni plurisubarmoniche estremali globali e relative e delle co-
stanti di Chebyshev per sottoinsiemi E j di un dato compatto E della varietà alge-
brica A, anche nel caso A sia singolare. Tali risultati sono di interesse indipendente.
Nell’ultima parte della tesi vengono provate ed illustrate alcune procedure per
la costruzione di admissible meshes per alcune classi di compatti reali.
In ultimo vengono presentati alcuni nuovi algoritmi, basati sulle admissible
meshes, per l’ approssimazione numerica delle più rilevanti grandezze in Teoria del
Pluripotenziale: il diametro transfinito, la funzione estremale di Siciak-Zaharjuta e
la misura di equilibrio pluripotenziale.

Statistiche Download - Aggiungi a RefWorks
Tipo di EPrint:Tesi di dottorato
Relatore:Norm, Levenberg
Dottorato (corsi e scuole):Ciclo 28 > Scuole 28 > SCIENZE MATEMATICHE > MATEMATICA COMPUTAZIONALE
Data di deposito della tesi:30 Gennaio 2016
Anno di Pubblicazione:30 Gennaio 2016
Parole chiave (italiano / inglese):Pluripotential Theory, asymptotic of Orthogonal Polynomials
Settori scientifico-disciplinari MIUR:Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/08 Analisi numerica
Area 01 - Scienze matematiche e informatiche > MAT/05 Analisi matematica
Struttura di riferimento:Dipartimenti > Dipartimento di Matematica
Codice ID:9221
Depositato il:21 Ott 2016 15:35
Simple Metadata
Full Metadata
EndNote Format

Download statistics

Solo per lo Staff dell Archivio: Modifica questo record